IMPLIKASI KETIADAAN AKSIOMA HIMPUNAN KOSONG
Pertanyaan apakah “ketiadaan” (non-existence), yang direpresentasikan secara matematis sebagai himpunan kosong, memiliki keberadaan, merupakan persimpangan filosofis yang fundamental. Untuk memahaminya, kita harus meninjau dua aliran epistemologis utama: idealisme Plato dan empirisme Aristoteles.
Secara esensial, eksistensi ketiadaan ini harus diterima secara aksiomatik, dan menolak aksioma tersebut akan menghancurkan fondasi pengetahuan modern.
I. ALIRAN EPISTEMOLOGIS: KETIADAAN DI MATA PLATO DAN ARISTOTELES
Plato dan Aristoteles memberikan arah yang berbeda mengenai asal-usul pengetahuan, yang memengaruhi pandangan mereka terhadap entitas abstrak seperti ketiadaan.
Filsafat Plato bersifat idealisme rasional atau “inner-out.” Pengetahuan sejati dimulai dari akal, yang mampu mengakses Dunia Ide yang sempurna. Bagi Plato, ketiadaan murni—seperti himpunan kosong—pasti ada di ranah ideal karena ia koheren secara logis. Eksistensinya adalah aksioma yang diterima secara deduktif.
Sebaliknya, filsafat Aristoteles bersifat empirisme atau “outer-in.” Pengetahuan dimulai dari indra dan pengalaman dunia fisik. Karena ketiadaan murni tidak memiliki substansi atau atribut fisik yang dapat diindera, Aristoteles berpendapat bahwa ketiadaan tidak dapat dibuktikan keberadaannya di dunia fisik.
II. MASALAH DEDUKSI ARISTOTELES DAN KEMENANGAN AKSIOMA
Logika Aristoteles terkenal dengan silogisme deduktifnya, namun logika “outer-in” ini memiliki kelemahan mendasar. Proses deduksi silogistik Aristoteles berpijak pada premis mayor yang didapat melalui induksi dari observasi empiris berulang.
Karena premis mayor rentan terhadap falsifikasi (Masalah Induksi), konklusi yang ditarik darinya tidak akan pernah bersifat niscaya mutlak, melainkan hanya probabilistik. Logika Aristoteles bergumul dengan ketiadaan karena ia tidak dapat diindera, dan premis mayor tidak dapat mengklaim keniscayaan mutlak.
Sebaliknya, dalam matematika modern, eksistensi ketiadaan diselesaikan dengan mengadopsi cara pandang Platonis yang diformalkan: himpunan kosong diterima secara aksiomatik melalui Aksioma Himpunan Kosong. Ini adalah kemenangan bagi idealisme Plato, yang menetapkan ketiadaan sebagai prasyarat logis yang terbukti konsisten.
III. KIAMAT EPISTEMOLOGIS: DUNIA TANPA AKSIOMA HIMPUNAN KOSONG
Mengandaikan penolakan terhadap Aksioma Himpunan Kosong akan menyebabkan kiamat epistemologis yang melumpuhkan sebagian besar peradaban modern.
Runtuhnya struktur matematika inti akan terjadi seketika, karena himpunan kosong adalah definisi formal untuk nol dalam konstruksi Von Neumann. Tanpa nol yang terdefinisi secara formal, seluruh sistem bilangan asli (1, 2, 3, …) tidak memiliki fondasi logis.
Pembuktian dalam kalkulus, aljabar abstrak, dan topologi akan menjadi tidak stabil, karena elemen dasar dan definisi ruangnya hilang.
Dampak ini meluas ke sains dan teknologi terapan. Dalam ilmu komputer, himpunan kosong dan nol adalah dasar dari logika Boolean dan struktur data. Tanpa aksioma tersebut, pemrogram tidak dapat membedakan antara “tidak ada” data (null) dan “data yang invalid,” yang menyebabkan kekacauan dalam algoritma dan basis data.
Selanjutnya, di bidang fisika dan rekayasa, sistem yang bergantung pada kalkulus dan model matematika presisi (seperti navigasi satelit atau rekayasa struktural) akan kehilangan landasan logisnya, yang berujung pada kegagalan sistemik dalam desain teknologi.
Oleh karena itu, eksistensi ketiadaan sebagai aksioma bukan sekadar masalah filosofis, melainkan prasyarat eksistensial bagi kemajuan sains dan teknologi umat manusia.