Di satu sudut, kita memiliki Konjektur Goldbach: sebuah pernyataan yang sangat sederhana dari tahun 1742 yang dapat dipahami oleh seorang siswa sekolah menengah, namun belum terpecahkan selama berabad-abad. Di sudut lain, kita memiliki Teorema Ketidaklengkapan Gödel: salah satu pencapaian intelektual terdalam abad ke-20, yang membuktikan bahwa ada batas fundamental pada apa yang dapat dibuktikan oleh matematika.
Ketika dua raksasa ini bertemu, mereka menciptakan pertanyaan filosofis yang menakjubkan: Bagaimana jika Konjektur Goldbach itu benar, tetapi kita tidak akan pernah bisa membuktikannya?
Konjektur vs. Ketidaklengkapan
Mari kita bedakan dua konsep inti:
Konjektur Goldbach (GC): Setiap bilangan genap yang lebih besar dari 2 adalah hasil penjumlahan dua bilangan prima.
Contoh: 4 = 2+2; 12 = 5+7; 100 = 47+53.
Perbedaan Kunci: Verifikasi vs. Bukti: Di sinilah letak ketegangannya. Secara empiris, konjektur ini telah diverifikasi oleh komputer untuk semua bilangan genap hingga angka astronomis (saat ini melampaui 4 kali 10 pangkat 18). Kita belum menemukan satu pun kegagalan. Namun, dalam matematika, memeriksa triliunan (bahkan kuadriliun) kasus bukanlah bukti. Sebuah bukti formal harus menjamin bahwa pernyataan itu berlaku untuk semua bilangan genap, hingga tak terhingga—sesuatu yang tidak akan pernah bisa diselesaikan oleh komputer yang hanya bisa menghitung satu per satu.
Teorema Ketidaklengkapan Gödel: Dalam sistem aksioma formal apa pun yang cukup kuat untuk mendeskripsikan aritmetika dasar (seperti Aritmetika Peano/PA), akan selalu ada pernyataan-pernyataan yang benar namun tidak dapat dibuktikan di dalam sistem tersebut.
Teorema Gödel secara fundamental memisahkan konsep “Kebenaran” (apa yang faktanya benar) dari “Keterbuktian” (apa yang bisa kita buktikan secara logis).
Tiga Skenario Logis untuk Goldbach
Dengan asumsi bahwa sistem matematika kita (PA) konsisten, Teorema Gödel memaksa kita untuk mempertimbangkan tiga kemungkinan status untuk Konjektur Goldbach.
Skenario 1: Benar dan Dapat Dibuktikan
Ini adalah skenario yang diharapkan. Suatu hari nanti, seseorang menemukan bukti formal yang cemerlang, menggunakan aksioma PA, yang menunjukkan bahwa GC benar untuk semua bilangan genap. Konjektur ini lulus menjadi Teorema.
Skenario 2: Salah (dan Pasti Dapat Dibuktikan Salah)
Ini adalah skenario di mana GC ternyata tidak benar, meskipun semua verifikasi komputer kita sejauh ini berhasil.
Apa artinya? Ini berarti ada setidaknya satu bilangan genap di luar sana (sebut saja N) yang tidak dapat ditulis sebagai jumlah dua bilangan prima. N ini pastilah angka yang lebih besar dari 4 kali 10 pangkat 18.
Implikasi Logis: Jika GC salah, maka Aritmetika Peano (PA) pasti dapat membuktikannya.
Mengapa? Untuk membuktikan GC salah, kita hanya perlu menemukan satu N tersebut dan kemudian secara komputasi memeriksa semua pasangan prima di bawah N untuk menunjukkan bahwa tidak ada yang berjumlah N. Ini adalah perhitungan yang terbatas dan konkret. PA cukup kuat untuk melakukan verifikasi ini.
Skenario 3: Benar dan Tidak Dapat Dibuktikan
Ini adalah skenario Gödelian yang paling menarik dan paling membingungkan.
Apa artinya? Dalam skenario ini, Konjektur Goldbach memang benar. Setiap bilangan genap, hingga tak terhingga, memang merupakan jumlah dari dua bilangan prima. Verifikasi komputer kita yang tak kenal lelah itu memang menunjukkan kebenaran yang mendasar.
NAMUN… Kita tidak akan pernah bisa menuliskannya sebagai bukti formal. Aksioma-aksioma PA, meskipun cukup kuat untuk banyak hal, ternyata “terlalu lemah” untuk menjangkau kebenaran spesifik ini.
Implikasi Logis: Berdasarkan Skenario 2, kita tahu bahwa jika GC salah, PA pasti akan mengetahuinya. Oleh karena itu, satu-satunya cara agar GC bisa “independen” atau “tidak dapat dibuktikan” oleh PA adalah jika konjektur itu BENAR.
Kesimpulan: Kebenaran di Luar Jangkauan Bukti
Teorema Ketidaklengkapan Gödel tidak memberi tahu kita apakah Goldbach benar atau salah. Namun, ia memberikan pandangan yang mendalam tentang sifat dari masalah tersebut, terutama ketika dihadapkan pada bukti empiris (verifikasi) yang begitu melimpah.
Triliunan data kita yang menunjukkan Goldbach benar bisa jadi hanya bayangan dari sebuah kebenaran yang tidak bisa kita raih.
Ia memberitahu kita bahwa Konjektur Goldbach tidak mungkin “Salah dan Tidak Dapat Dibuktikan.”
Jika suatu hari nanti terbukti bahwa Konjektur Goldbach independen dari Aritmetika Peano, kita akan tahu sesuatu yang luar biasa: kita akan tahu bahwa Konjektur Goldbach pasti benar (menjustifikasi semua data komputer kita), meskipun kita tidak akan pernah bisa membuktikannya melalui metode standar.
Itu akan berarti bahwa kebenaran GC bukanlah konsekuensi logis yang diperlukan dari aksioma kita, melainkan sebuah “fakta kebetulan” dari alam semesta bilangan—sebuah kebenaran yang ada, namun selamanya berada di luar jangkauan formal kita.